ریاضی کنکوریهمه مقالههامیانگین وزنی با داده مجهول؛ روش حل مرحله‌به‌مرحله
یاد بگیرید وقتی مقدار یک داده یا وزن آن نامعلوم است، معادله میانگین وزنی را بسازید، مجهول را پیدا کنید و پاسخ را کنترل کنید.
پاسخ کوتاه
در بسیاری از مسائل آماری، همه داده‌ها اهمیت یکسان ندارند؛ برای نمونه نمره‌ای ممکن است با وزن دو و نمره‌ای دیگر با وزن سه در میانگین اثر بگذارد. برای حل میانگین وزنی با داده مجهول، ابتدا حاصل‌ضرب هر مقدار در وزنش را بنویسید، مجموع وزن‌ها را به دست آورید و سپس کسر میانگین را برابر مقدار داده‌شده قرار دهید. بعد از حل مجهول، پاسخ را از نظر بازه و منطق مسئله بررسی کنید؛ میانگین وزنی باید بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مقدارهای معتبر قرار بگیرد.
میانگین وزنی با داده مجهول چگونه ساخته می‌شود؟
اگر داده‌های x₁، x₂، ... وزن‌های w₁، w₂، ... داشته باشند، میانگین وزنی از رابطهٔ میانگین وزنی = (x₁w₁ + x₂w₂ + ...)/(w₁ + w₂ + ...) به دست می‌آید. وزن‌ها باید نامنفی باشند و دست‌کم یک وزن مثبت باشد. اگر یکی از داده‌ها مجهول باشد، آن را x می‌گیریم و در صورت کسر قرار می‌دهیم. اگر وزن مجهول باشد، باید مجهول را در بخش وزن‌ها و همچنین در حاصل‌ضرب متناظر وارد کنیم.
تبدیل کسر میانگین به معادله
فرض کنید نمرهٔ ۱۲ با وزن ۲، نمرهٔ ۱۵ با وزن ۳ و نمرهٔ x با وزن ۵ داریم و میانگین وزنی ۱۶ است. مجموع وزن‌ها ۱۰ می‌شود؛ بنابراین (۱۲×۲ + ۱۵×۳ + ۵x)/۱۰ = ۱۶. صورت کسر را محاسبه می‌کنیم: ۲۴ + ۴۵ + ۵x = ۱۶۰، پس ۵x = ۹۱ و x = ۱۸٫۲. این پاسخ از بیشینهٔ داده‌های معلوم بزرگ‌تر است، اما چون میانگین ۱۶ و داده‌های معلوم ۱۲ و ۱۵ هستند، چنین مقداری می‌تواند منطقی باشد؛ فقط باید بازهٔ مجاز نمره در صورت سؤال را نیز بررسی کرد.
روش چهارمرحله‌ای حل
مرحلهٔ اول: هر داده را کنار وزن خودش بنویسید تا جفت‌ها جابه‌جا نشوند. مرحلهٔ دوم: مجموع وزن‌ها را حساب کنید. مرحلهٔ سوم: مجموع حاصل‌ضرب داده‌ها و وزن‌ها را برابر میانگین ضرب‌در مجموع وزن‌ها قرار دهید. مرحلهٔ چهارم: معادله را حل و جواب را کنترل کنید. برای مثال اگر دو مقدار ۱۰ و x به‌ترتیب وزن‌های ۱ و ۲ داشته باشند و میانگین ۱۴ باشد، داریم (۱۰ + ۲x)/۳ = ۱۴؛ پس ۱۰ + ۲x = ۴۲ و x = ۱۶.
اگر وزن مجهول باشد چه کنیم؟
فرض کنید میانگین دادهٔ ۱۰ با وزن ۲ و دادهٔ ۱۸ با وزن x برابر ۱۴ است. رابطهٔ (۱۰×۲ + ۱۸x)/(۲+x)=۱۴ خواهد بود. با ضرب طرفین، ۲۰ + ۱۸x = ۲۸ + ۱۴x و در نتیجه ۴x = ۸، پس x = ۲. وزن باید صفر یا مثبت باشد؛ بنابراین این پاسخ از نظر ساختار وزن قابل قبول است. در حل چنین مسئله‌ای مراقب باشید x را فقط در صورت کسر نگذارید، چون وزن مجهول در مخرج نیز حضور دارد.
کنترل خطا و نکات امتحانی
اگر همه وزن‌ها برابر باشند، میانگین وزنی به میانگین معمولی تبدیل می‌شود. پس از حل، میانگین را دوباره با جواب به دست‌آمده محاسبه کنید. حاصل‌ضرب‌ها را در ستونی جدا بنویسید تا وزن یک داده با دادهٔ دیگر ترکیب نشود. همچنین اگر وزن‌ها تعداد افراد یا تعداد تکرار یک مقدارند، وزن بزرگ‌تر یعنی اثر بیشتر، نه الزاماً مقدار بزرگ‌تر. در مسئله‌های نمره، درصد یا قیمت، واحدها را یکسان نگه دارید.
جمع‌بندی حل میانگین وزنی
برای حل، رابطهٔ مجموعِ حاصل‌ضرب‌ها تقسیم بر مجموع وزن‌ها را بنویسید، مجهول را در جای درست قرار دهید، کسر را با میانگین برابر کنید و در پایان جواب را با جایگذاری دوباره کنترل کنید. تشخیص محل مجهول مهم‌ترین بخش است: اگر مقدار مجهول باشد، در صورت کسر می‌آید؛ اگر وزن مجهول باشد، هم در صورت و هم در مخرج ظاهر می‌شود. کنترل بازه و نامنفی بودن وزن‌ها نیز از پاسخ‌های ظاهراً درست اما نامعتبر جلوگیری می‌کند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: سه دادهٔ ۸، ۱۲ و x به‌ترتیب وزن‌های ۱، ۲ و ۳ دارند. اگر میانگین وزنی ۱۴ باشد، x را بیابید.
مجموع وزن‌ها ۶ است. بنابراین (۸×۱ + ۱۲×۲ + ۳x)/۶ = ۱۴. پس ۸ + ۲۴ + ۳x = ۸۴، در نتیجه ۳x = ۵۲ و x = ۵۲/۳ یا حدود ۱۷٫۳۳. با جایگذاری، (۸ + ۲۴ + ۵۲)/۶ = ۸۴/۶ = ۱۴، پس پاسخ درست است.
تمرین ۲: مقدار ۱۰ وزن ۲ و مقدار ۲۰ وزن x دارد. اگر میانگین وزنی ۱۶ باشد، وزن x را پیدا کنید.
رابطهٔ (۱۰×۲ + ۲۰x)/(۲+x)=۱۶ است. با ضرب طرفین داریم ۲۰ + ۲۰x = ۳۲ + ۱۶x. بنابراین ۴x = ۱۲ و x = ۳. کنترل: (۲۰ + ۶۰)/(۲ + ۳) = ۸۰/۵ = ۱۶؛ پس وزن مجهول برابر ۳ است.
چک‌لیست حل تست
- پیش از محاسبه، داده‌ها و وزن‌های متناظر را در دو ستون مرتب کنید.
- برای حذف مخرج، دو طرف معادله را در مجموع وزن‌ها ضرب کنید.
- پس از یافتن مجهول، میانگین را از ابتدا بازسازی کنید تا خطای جبری آشکار شود.